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《椭圆与双曲线》测试
一、选择题
1. 若的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.以的顶点为焦点,长半轴长为4的椭圆方程为
A． B. C. D.
3．平面内有一长度为4的线段，动点满足
，则的取值范围是
A． B. C. D.
4.如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别
为，其大小关系为
A． B．
C． D．
5. 已知无论K取何值，直线 y = 6x +2与曲线C总有公共点，则这样的曲线C可以是
6.若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该
双曲线的离心率是 A． B． C． D．
7.已知双曲线的右焦点为，若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围
A. B. C. D.
8.已知直线l交椭圆4x2＋5y2＝80于M、N两点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，若△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l的方程是
A．5x＋6y－28＝0 B．5x－6y－28＝0 C．6x＋5y－28＝0 D．6x－5y－28＝0
9. 点P是椭圆上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且的内切圆半径是1,当P点在第一象限时,点P纵坐标是
A B C D
10．已知实系数方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则的取值范围是 A (-2, -1) B (-1, -) C (-2, -) D (-2, +)
11.若长度为定值的线段的两端点分别在轴正半轴和轴正半轴上移动，点为坐标原点，则的重心，内心，外心，垂心的轨迹不可能是
A.点 B.线段 C.圆弧 D.抛物线的一部分
12．已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，双曲线在第一象限的图像上有一点P，，则
A、 B、
C、 D、
二、填空题
13. 已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为
14. 设过原点与椭圆交于A、B两点 ，为椭圆的左焦点。则面积的最大值为 .
15.设是双曲线的两个焦点，是以为直径的圆与双曲线的一个交点，若，则双曲线的离心率为
16．在平面直角坐标平面内,不难得到“对于双曲线（）上任意一点,若点
在 轴、轴上的射影分别为、，则必为定值”.类比于此，对于双曲
线（,）上任意一点,类似的命题为: ．
三、解答题
17.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论
18.如图，已知椭圆长轴长为4，离心率为过点的直线交椭圆于两点、交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点。
（I）求椭圆方程；
（Ⅱ）探究：是否为常数？
19.椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，焦点到相应准线的距离及离心率均为，
直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点，
（1）求椭圆方程；
（2）若，求的取值范围．
20.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三
角形，直线是抛物线的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的动直线L交椭圆C于A、B两点.试问：在坐标平面上是否存在一
个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T ? 若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：
1-6 ADACBD 7-12 CDACDC
13. 14.12 15.
16.若点P在两渐近线上的射影分别为、，则必为定值
17. 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1
(2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G的坐标为(2，2）
假设存在直线l，使G(2，2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有
，∴kl=∴l的方程为
y= (x－2)+2,由,消去y,整理得x2－4x+28=0 ∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l不存在
19．解：（I）设所求椭圆是（1分） 由题意得 3分
解得（5分） 所以椭圆方程为 （5分）
（Ⅱ）直线方程为，则的坐标为 （6分）
设则，
直线方程为令，得的横坐标为
① （8分）
又得得，（9分）
代入①得， （11分）
得， 为常数4 （13分）
19．解:（1）由得
∴椭圆的方程为：．
（2）设直线的方程为：
由得
由此得． ①
设与椭圆的交点为，则
由得
，整理得
，整理得
时，上式不成立， ②
由式①、②得
或
∴取值范围是．
20．解：（1）由
因直线相切，
，
∵圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴
故所求椭圆方程为
（2）当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
当L与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程：
由
即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T如果存在，只能是（0，1）
事实上，点T（0，1）就是所求的点，证明如下．
当直线L垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T（0，1）
若直线L不垂直于x轴，可设直线L：
由
记点、
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T（0，1）
所以在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件．